图的存储结构

在上一章当中，我们介绍了图结构的基本定义和一些相关概念，在图结构当中的定义概念十分之多，但是很多概念之间都是互相关联的，如果没有了解可以先行了解一下，在有了这些基础之上，本章我们就来看看图的存储结构

图的存储结构

图的存储结构相比较线性表与树来说就复杂很多，因为对于线性表来说，是一对一的关系，所以用数组或者链表均可简单存放，而树结构是一对多的关系，所以我们要将数组和链表的特性结合在一起才能更好的存放，但是对于图结构，它是多对多的情况，图上的任何一个顶点都可以被看作是第一个顶点，任一顶点的邻接点之间也不存在次序关系，比如下面这几个图

我们仔细观察可以发现，其实它们都是同一个图，只是表现的形式不一样而已，因为任意两个顶点之间都可能存在联系，因此无法以数据元素在内存中的物理位置来表示元素之间的关系（内存物理位置是线性的，而图的元素关系是平面的），如果用多重链表来描述倒是可以做到，但是如果单独使用多重链表可能会导巨大的浪费（如果各个顶点的度数相差太大，就会造成巨大的浪费）

所幸，业界当中已经有前辈帮我们整理出来了五种不同的存储结构，它们分别是『邻接矩阵』，『邻接表』，『十字链表』，『邻接多重表』和『边集数组』，其中的『邻接矩阵』和『邻接表』是使用最为广泛的，所以我们会重点来进行讲解，其他另外三个了解即可

邻接矩阵（无向图）

考虑到图是由『顶点』和『边或弧』两部分组成，所以可以就很自然地考虑到分为两个结构来分别存储，顶点因为不区分大小、主次，所以用一个一维数组来进行存储，而边或弧由于是顶点与顶点之间的关系，可以考虑采用二维数组来存储，所以我们也就有了邻接矩阵，图的邻接矩阵（Adjacency Matrix）存储方式是用两个数组来表示图，一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组（称为邻接矩阵）存储图中的边或弧的信息，如下图所示

我们可以设置两个数组，顶点数组为 vertex[4] = { V0, V1, V2, V3 }，边数组 arc[4][4] 为对称矩阵（0 表示不存在顶点间的边，1 表示顶点间存在边）

所谓对称矩阵就是 n 阶矩阵的元满足 a[i][j] = a[j][i]（0 <= i, j <= n），即从矩阵的左上角到右下角的主对角线为轴，右上角的元与左下角相对应的元全都是相等的（也就是上图当中分隔线所隔开的两部分），有了这个二维数组组成的对称矩阵，我们就可以很容易地知道图中的信息，比如要判定任意两顶点是否有边无边就非常容易了

而且如果想要知道某个顶点的度，其实就是这个顶点 Vi 在邻接矩阵中第 i 行（或第 i 列）的『元素之和』，而顶点 Vi 的所有邻接点就是将矩阵中第 i 行元素扫描一遍，arc[i][j] 为 1 就是『邻接点』

邻接矩阵（有向图）

看完了无向图的邻接矩阵，我们再来看看有向图，如下图

通过上图我们可以发现，顶点数组 vertex[4] = { V0, V1, V2, V3 }，弧数组 arc[4][4] 也是一个矩阵，但因为是有向图，所以这个矩阵并不对称，例如由 V1 到 V0 有弧，我们可以得到 arc[1][0] = 1，而 V0 到 V1 没有弧，因此 arc[0][1] = 0

另外有向图是有讲究的，要考虑『入度』和『出度』，顶点 V1 的入度为 1，正好是第 V1『列』的各数之和，顶点 V1 的出度为 2，正好是第 V1『行』的各数之和，所以简单来说就是，对于有向图，行数之和为『出度』，列数之和为『入度』

邻接矩阵（网）

在图的术语中，我们提到了网这个概念，事实上也就是每条边上带有『权』的图就叫网

这里 ∞ 表示一个计算机允许的、大于所有边上权值的值

邻接矩阵的实现

下面我们来看如何用代码进行实现，我们以下图为例

// 定义邻接矩阵
let Arr2 = [
  [0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0],
  [1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1],
  [0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1],
  [0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1],
  [0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0],
  [1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0],
  [0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0],
  [0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0],
  [0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0],
]

// 定义顶点数，定义边数
let numVertexes = 9, numEdges = 14

// 定义图结构  
function MGraph() {
  this.vexs = []                // 顶点表
  this.arc = []                 // 邻接矩阵，可看作边表
  this.numVertexes = null       // 图中当前的顶点数
  this.numEdges = null          // 图中当前的边数
}

let G = new MGraph()            // 创建图使用

// 创建图
function createMGraph() {
  G.numVertexes = numVertexes   // 设置顶点数
  G.numEdges = numEdges         // 设置边数

  // 录入顶点信息
  for (let i = 0; i < G.numVertexes; i++) {
    G.vexs[i] = 'V' + i
  }
  console.log(G.vexs)

  // 邻接矩阵初始化
  for (let i = 0; i < G.numVertexes; i++) {
    G.arc[i] = []
    for (j = 0; j < G.numVertexes; j++) {
      G.arc[i][j] = Arr2[i][j]
    }
  }
  console.log(G.arc)
}

// 调用
createMGraph()